機械第38回 2026年8月20日 ⏱ 約27分で読めます

同期発電機のベクトル図と三相短絡曲線を「引き算の電圧・ほぼ比例の直線」で攻略

電験三種「機械」科目の三相同期発電機のベクトル図と三相短絡曲線を解説。E＝V＋Vra＋Vxsはキルヒホッフの電圧則そのままだと捉え直し、電機子反作用リアクタンスxaと漏れリアクタンスxℓの違い、そして「短絡曲線」なのに直線になる理由まで、理由とセットで整理します。

🃏 暗記フレーズ：同期発電機は引き算の電圧、短絡曲線はほぼ比例の直線

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この記事で身につくこと

同期発電機の単元に入ると、突然こんな図が出てきます。矢印がナナメに何本も伸びていて、そこに $E$ だの $V$ だの $V_{r a}$ だの $V_{x s}$ だの、見たことのない記号がびっしり。多くの人がここで「機械は無理だ」と本を閉じます。

でも、안心してください。あのベクトル図がやっていることは、たった一つです。

「もとの電圧から、途中で減った分を引く」。それだけ。

中学校で習った直列回路と同じで、電池の電圧から抵抗で減った分を引けば、残りが出口の電圧になります。同期発電機も、コイルの中で発生した電圧（無負荷誘導起電力 $E$ ）から、途中で減った分を引いた残りが、端子に出てくる電圧 $V$ です。

ただし同期発電機の場合、「減る分」が抵抗だけでなくリアクタンスでも起きるので、単純な引き算ではなく**矢印の引き算（ベクトル）**になります。だから図が斜めになるのです。理由が分かれば、あの図は怖くありません。

この記事を読み終えると、こうなります。

$E$ ・ $V$ ・ $V_{r a}$ ・ $V_{x s}$ の4つの記号が、それぞれ何を指しているか言える
電機子反作用リアクタンス $x_{a}$ と漏れリアクタンス $x_{ℓ}$ の違いを、一言で説明できる
「短絡曲線」という名前なのに直線になる理由を、理由つきで説明できる
三相短絡曲線が何のために測られるグラフなのかが分かる

暗記フレーズ：同期発電機は引き算の電圧、短絡曲線はほぼ比例の直線

この単元は、この一文にすべて詰まっています。

「同期発電機は引き算の電圧、短絡曲線はほぼ比例の直線」

前半の「引き算の電圧」が、ベクトル図の話。後半の「ほぼ比例の直線」が、三相短絡曲線の話です。

この単元でつまずく人の多くは、ベクトル図と短絡曲線をバラバラの2つの話として覚えようとしています。実はこの2つは地続きです。ベクトル図で「電圧がどう減るか」を理解しておくと、短絡したときに何が起きるかが自然に見えてきて、短絡曲線が直線になる理由まで一本の線でつながります。

順番に見ていきましょう。

ステップ1：4つの記号の正体を、先に片付ける

まず、記号の意味だけ先に整理してしまいます。ここさえ済めば、あとは足し算と引き算です。

記号	読み方・意味	どこの電圧か
$\dot{E}$	無負荷誘導起電力（内部誘導起電力）	コイルの中で発生した、もとの電圧
$\dot{V}$	端子電圧	発電機の出口に実際に出てくる電圧
$\dot{V}_{r a}$	巻線抵抗による電圧降下	電線の抵抗で減った分
$\dot{V}_{x s}$	同期リアクタンスによる電圧降下	磁気の影響で減った分

そして、この4つをつなぐ関係式がこれです。

$\dot{E} = \dot{V} + \dot{V}_{r a} + \dot{V}_{x s}$

電機子電流を $\dot{I}$ とすれば、それぞれの電圧降下は次のように書けます。

$\dot{V}_{r a} = r_{a} \dot{I} \dot{V}_{x s} = j x_{s} \dot{I}$

まとめると、こうです。

$\dot{E} = \dot{V} + r_{a} \dot{I} + j x_{s} \dot{I} = \dot{V} + (r_{a} + j x_{s}) \dot{I}$

長そうに見えますが、やっていることはキルヒホッフの電圧則そのままです。「1周まわったら電圧の合計はつり合う」というあれです。理論科目でさんざんやったやつが、そのまま出てきているだけなんです。

見方を変えれば、こう読めます。

$\dot{V} = \dot{E} - r_{a} \dot{I} - j x_{s} \dot{I}$

もとの電圧 $E$ から、途中で減った分を引いた残りが $V$ 。 これが「引き算の電圧」の意味です。

🃏 暗記シート

Q. 三相同期発電機における、無負荷誘導起電力Eと端子電圧Vの関係式は？

なお、この関係式そのものの成り立ち（等価回路の1相分の考え方）が不安な人は、先に〈三相同期発電機の等価回路を「抵抗はナナメ・遅れは弱める・進みは強める」で攻略〉を読んでおくと、この先の話が驚くほどスムーズに入ります。回路図が頭にあるかどうかで、ベクトル図の理解度は倍くらい変わります。

ステップ2：なぜ矢印がナナメになるのか

「引き算なら、数字を引けばいいじゃないか」と思いますよね。それができないのが、この単元の第一関門です。

理由は、抵抗による電圧降下とリアクタンスによる電圧降下では、電圧が現れるタイミング（位相）が違うからです。

電圧降下	電流との関係	図での向き
$r_{a} \dot{I}$ （抵抗ぶん）	電流と同じ向き	電流 $\dot{I}$ と平行
$j x_{s} \dot{I}$ （リアクタンスぶん）	電流より90°進む	電流 $\dot{I}$ と直角

式の中の $j$ が、この「90°まわす」という指示そのものです。 $j$ を掛けるということは、矢印を反時計まわりに直角に倒すこと。だから $r_{a} \dot{I}$ と $j x_{s} \dot{I}$ は、必ず直角に組み合わさるのです。

つまりベクトル図は、こう組み立てられます。

まず端子電圧 $\dot{V}$ の矢印を引く
その先端から、電流 $\dot{I}$ と同じ向きに $r_{a} \dot{I}$ を継ぎ足す
さらにその先端から、直角に $j x_{s} \dot{I}$ を継ぎ足す
最初の根元から最後の先端まで結んだ矢印が $\dot{E}$

矢印を継ぎ足していくと、自然と三角形ができあがります。あの図は、この3本の足し算を絵にしただけなのです。

そしてここが大事なところで、足し算の順番を変えても、 $\dot{E}$ の位置は変わりません。試験で図の描き方が本と少し違って見えても、慌てないでください。三角形の形が同じなら同じ図です。

$\dot{V}$ と $\dot{E}$ のあいだにできる角度を負荷角 $δ$ （デルタ）、 $\dot{V}$ と $\dot{I}$ のあいだの角度を力率角 $φ$ （ファイ） と呼びます。この2つは名前も見た目も似ていますが、まったく別物です。後半で改めて釘を刺します。

🃏 暗記シート

Q. 同期発電機のベクトル図で、抵抗による電圧降下raIとリアクタンスによる電圧降下jxsIは、どんな位置関係で描かれるか？

💡 jを掛ける＝矢印を直角に倒す

ステップ3：同期リアクタンスxsは「2つの合わせ技」

ここが、この単元で一番あいまいなまま放置されがちな場所です。

同期リアクタンス $x_{s}$ は、実は2つのリアクタンスを合わせたものです。

$x_{s} = x_{a} + x_{ℓ}$

記号	名前	主磁束への影響	イメージ
$x_{a}$	電機子反作用リアクタンス	影響する（増磁・減磁）	磁石の力そのものを強めたり弱めたりする
$x_{ℓ}$	漏れリアクタンス	影響しない	「はしっこ」を素通りしていく漏れ磁束ぶん

区別のコツは、主磁束に手を出すかどうかの一点です。

$x_{a}$ （電機子反作用）は、電機子電流がつくった磁束が、磁極がつくっている主磁束に真正面からぶつかっていく話です。力率によって主磁束を弱めたり（減磁作用）強めたり（増磁作用） します。つまり、発電機の心臓部に干渉するリアクタンスです。

いっぽう $x_{ℓ}$ （漏れリアクタンス）は、コイルの周りをちょろっと回って帰ってしまい、磁極まで届かない「はぐれ磁束」によるものです。主磁束には一切タッチしません。だから「漏れ」なのです。

試験では、この2つはわざわざ分けて計算しないことがほとんどで、最初から合計の $x_{s}$ が与えられます。ですが「なぜ2つあるのか」を知らないと、 $x_{a}$ だけを問う設問や、電機子反作用の増磁・減磁の設問が出たときに手が止まります。

電機子反作用の増磁・減磁がまだピンとこない人は、〈三相同期発電機の等価回路を「抵抗はナナメ・遅れは弱める・進みは強める」で攻略〉の「遅れは弱める・進みは強める」の部分を先に押さえてしまうのが近道です。あそこが分かっていれば、 $x_{a}$ の正体は一瞬で腑に落ちます。

🃏 暗記シート

Q. 同期発電機の同期リアクタンスxsは、どの2つを合わせたものか？

ステップ4：端子を短絡すると、何が起きるか

さて、ここからが後半の三相短絡曲線です。

やることは単純です。発電機の出口（端子）を、3本まとめてつないでしまう。これが三相短絡です。

出口をつないでしまうということは、端子電圧 $V$ がゼロになるということです。先ほどの式に $\dot{V} = 0$ を入れてみましょう。

$\dot{E} = 0 + r_{a} \dot{I}_{s} + j x_{s} \dot{I}_{s} = (r_{a} + j x_{s}) \dot{I}_{s}$

つまり、内部で発生した電圧 $E$ がまるごと内部の電圧降下に使われる状態です。このとき流れる電流 $I_{s}$ が短絡電流です。

$\dot{I}_{s} = \frac{E ˙}{r _{a} + j x _{s}}$

ここで実機の事情がひとつ効いてきます。同期機では、巻線抵抗 $r_{a}$ は同期リアクタンス $x_{s}$ に比べてはるかに小さいのです。したがって、ほぼこう扱えます。

$I_{s} ≒ \frac{E}{x _{s}}$

短絡電流は、もとの電圧 $E$ を同期リアクタンス $x_{s}$ で割ったもの。ここまで単純化できてしまいます。

そして界磁電流 $I_{f}$ を大きくすれば、磁束が増え、 $E$ が大きくなり、その結果 $I_{s}$ も大きくなる。この $I_{f}$ と $I_{s}$ の関係をグラフにしたものが、三相短絡曲線です。

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Q. 同期発電機の三相短絡曲線は、縦軸と横軸に何をとったグラフか？

ステップ5：なぜ「曲線」なのに直線なのか

ここが、この単元で最も引っかかる場所です。

名前は「三相短絡曲線」。なのに、テキストに載っている図はほとんど真っすぐな直線。「印刷ミスか？」と思った人、たくさんいます。私も最初そう思いました。

これはちゃんと理由があります。

比較のために、無負荷飽和曲線を思い出してください。無負荷のとき、界磁電流を増やしていくと、はじめは電圧が比例して上がりますが、途中から寝てきて頭打ちになります。これは鉄心が磁気飽和するからです。鉄はある程度以上の磁束を通せなくなり、電流を増やしても磁束が増えなくなるのです。だから「曲線」になる。

では短絡時はどうか。

短絡すると、大きな電機子電流が流れます。しかもこの電流は、 $r_{a} ≪ x_{s}$ なのでほぼ**遅れ90°**の電流です。そして遅れ電流の電機子反作用は——減磁作用でしたね。つまり、

界磁が磁束をつくる → 短絡電流が流れる → その電流の減磁作用が磁束を打ち消す

という強烈な打ち消し合いが起きます。結果として、鉄心の中を通る磁束は飽和するところまで増えないのです。

鉄心が飽和しない、ということは、界磁電流と磁束の比例関係が最後まで崩れないということ。だから $I_{f}$ と $I_{s}$ はきれいに比例し、グラフはほぼ原点を通る直線になります。

	無負荷飽和曲線	三相短絡曲線
縦軸	無負荷誘導起電力 $E$	短絡電流 $I_{s}$
横軸	界磁電流 $I_{f}$	界磁電流 $I_{f}$
鉄心の状態	だんだん飽和する	飽和しない
グラフの形	途中から寝る曲線	ほぼ直線

「短絡曲線が直線になるのは、減磁作用が効いて鉄心が飽和しないから」。この一言を、理由セットで覚えてしまってください。丸暗記だと本番で「あれ、直線だっけ曲線だっけ」と揺らぎますが、理由がついていれば揺らぎません。

🃏 暗記シート

Q. 同期発電機の三相短絡曲線が、曲線ではなく直線になるのはなぜ？

💡 鍵は減磁作用と鉄心の飽和

ステップ6：この2本のグラフは何の役に立つのか

三相短絡曲線は、単独ではあまり出番がありません。無負荷飽和曲線とセットで使うことで、はじめて威力を発揮します。

同じ界磁電流のときの、無負荷飽和曲線から読んだ電圧と、三相短絡曲線から読んだ短絡電流を比べる。これで同期インピーダンスが実測できるのです。

$Z_{s} = \frac{E}{I _{s}}$

つまりこの2本のグラフは、「この発電機の内部インピーダンスはいくつか」を、実際に測って求めるための道具立てなのです。だから発電機メーカーの試験成績書には、この2本のグラフがほぼ必ず載っています。教科書の中だけの絵ではなく、現場で本当に使われている実測データなんですね。

ちなみに、実機で端子を本当に短絡すると、とんでもない大電流が流れます。ですからこの試験は、工場出荷前の限られた条件下でしか行われない特殊な測定です。「現場で気軽にやる試験」ではない、というのは知っておくと面白いところです。

🃏 暗記シート

Q. 同期発電機の同期インピーダンスを実測するとき、三相短絡曲線とセットで使うグラフは？

まとめ

長い記号の羅列に見えたこの単元も、整理すればこの2本柱だけです。

前半（ベクトル図）

$\dot{E} = \dot{V} + \dot{V}_{r a} + \dot{V}_{x s}$ は、キルヒホッフの電圧則そのまま
もとの電圧 $E$ から、途中で減った分を引いた残りが端子電圧 $V$
$r_{a} \dot{I}$ は電流と平行、 $j x_{s} \dot{I}$ は電流と直角 → だから三角形になる
$x_{s} = x_{a} + x_{ℓ}$ 。 $x_{a}$ は主磁束に干渉する、 $x_{ℓ}$ は干渉しない

後半（三相短絡曲線）

端子を短絡すると $V = 0$ 、 $I_{s} ≒ E / x_{s}$
減磁作用が効いて鉄心が飽和しないので、 $I_{f}$ と $I_{s}$ はほぼ比例＝直線
無負荷飽和曲線とセットで同期インピーダンスが求まる

合言葉はこれです。

「同期発電機は引き算の電圧、短絡曲線はほぼ比例の直線」

ここまで来たら、同期機の分野はもう「なんとなく怖い章」ではなくなっているはずです。そもそも同期発電機の構造そのものがまだ怪しい、という人は、〈同期発電機の構造を「固定が電機子・回転が磁極」で直流機との違いごと攻略〉に戻って土台を固めてから来ると、この記事の内容が一段深く刺さります。急がば回れです。

⚠ ここを間違える人が多い

この単元は、覚え違いのパターンがかなりはっきりしています。試験会場で泣かないために、先に潰しておきましょう。

❌ 電動機のベクトル図も、発電機と同じ式で描けると思っている → ✅ ここが最大の落とし穴です。同期電動機では、電力の流れる向きが逆になるので、式も $\dot{V} = \dot{E} + j x_{s} \dot{I}$ の形になり、発電機の $\dot{E} = \dot{V} + j x_{s} \dot{I}$ とは $j x_{s} \dot{I}$ の付く側が入れ替わります。発電機の式のまま電動機の図を描くと、リアクタンス降下の矢印が逆向きになり、「遅れ力率なのに $E$ のほうが $V$ より大きい」というあり得ない図を選んでしまいます。問題文の**「発電機」か「電動機」かを、まず○で囲む**くらいの用心をしてください。

❌ 力率角 $φ$ を、そのまま負荷角 $δ$ だと思って答えてしまう → ✅ これが誤答としては最多です。 $φ$ は端子電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ のなす角、 $δ$ は端子電圧 $\dot{V}$ と誘導起電力 $\dot{E}$ のなす角。まったく別の場所の角度です。問題文に「力率 $φ = 30°$ 」と書いてあっても、負荷角が $30°$ になるわけではありません。 $δ$ は $j x_{s} \dot{I}$ をきちんとベクトル合成したうえで、三角形から求める必要があります。選択肢に問題文と同じ数字があったら、まず疑う。これは鉄則です。

❌ 三相の定格電流を、 $S \div V$ で計算してしまう → ✅ 三相の定格電流は $I = S / (3 V)$ です。 $3$ を忘れると答えが約1.7倍になり、しかもその値に対応する「もっともらしい選択肢」が用意されていることがよくあります。ここは慌てると本当に落とします。三相と書いてあったら $3$ 。指差し確認の勢いで確認してください。

過去問ではこう出た

このテーマは、試験センターが公開している過去問だけを見ても、出題頻度がかなり高い部類です。

令和7年上期問6
令和6年下期問6 ／令和6年下期問15
令和6年上期問7
令和5年下期問5
令和4年上期問5
平成30年問6
平成29年問5

並べてみると分かるとおり、ほぼ毎年どこかで顔を出している単元です。しかも問5〜問7という、機械科目の前半の「取りに行くべき問題」の位置に集中しています。ここを落とすと、後半の難問で取り返さなければならなくなり、一気に苦しくなります。

出題のされ方は大きく2通りです。ひとつはベクトル図そのものを選ばせる作図問題（発電機か電動機か、遅れか進みかで正しい図を選ぶ）。もうひとつは短絡電流や同期インピーダンス、短絡比を計算させる問題です。どちらも、この記事で押さえた「引き算の関係式」と「短絡すれば $V = 0$ 」の2点が出発点になります。図が読めれば計算も立つ、という素直な単元なので、費用対効果は非常に高いです。

手を動かして確かめたい人は、こちらでどうぞ。

電験ジムで実際に解いてみる

よくある質問

Q. ベクトル図は、自分でも描けるようにならないとダメですか？

結論から言うと、フリーハンドでざっくり描ければ十分です。定規で正確に、という必要はまったくありません。

理由は、試験で問われるのが「 $\dot{V}$ から矢印を継ぎ足したとき、 $\dot{E}$ がどちら側のどのくらいの位置に来るか」という大まかな位置関係だからです。遅れ力率なら $E$ は $V$ より大きくなる、進み力率なら小さくなることがある——この程度の感覚が手で描けていれば、選択肢はふるい落とせます。